\(\(\(
\)\(Lecture\ 1\ \(outline : 

study\ of\ \(∑e^\((\(-π\)\ \((n\ y)\)^2)\)\)\)

    		inversion\ relation


    \ \ \ comparative\ \ study\ of\ \(∑e^\((\(-π\)\ n\ y)\)\)


    	proof\ of\ inversion\ relation\ using\ π\ cot[π\ z]\ expansion


    \ \ \ \ fourier\ series, \ 
    schwartz\ functions


    \ \ \ \ poisson\ summation\ formula



    \)\)\)

θ[y_, terms_] := 
      Sum[Exp[-π n^2 y^2], {n, -terms, terms}]

N[θ[1, 100], 100]

N[θ[1/2, 100], 100]

N[θ[1/4, 100], 100]

θ[ .01, 10000]

θ[ .001, 20000]

N[θ[1, 100], 
      100]

N[θ[1/2, 100], 100]/2

N[θ[1/4, 100], 100]/4

N[θ[1, 100], 100] - 1

N[θ[1/2, 100], 100]/2 - 1

N[θ[1/4, 100], 100]/4 - 1

N[θ[1/8, 100], 200]/8 - 1

Log[
N[θ[1, 100], 100] - 1]

Log[N[θ[1/2, 100], 100]/2 - 1]

Log[N[θ[1/4, 100], 100]/4 - 1]

Log[N[θ[1/8, 100], 200]/8 - 1]

Log[
N[θ[1, 100], 100] - 1]/1

Log[N[θ[1/2, 100], 100]/2 - 1]/4

Log[N[θ[1/4, 100], 100]/4 - 1]/16

Log[N[θ[1/8, 100], 200]/8 - 1]/64

Log[N[θ[1/20, 100], 1000]/20 - 1]/400

{θ[1/2, 100], 
        2 θ[2, 10]} // N

{θ[1/4, 100], 2 θ[4, 10]} // 
      N